На основании данного выше исследования милетской школы можно лишь убедиться в активном влиянии мировоззрения на процесс математического познания только при радикальном изменении социально-экономических условий жизни общества. Однако остаются открытыми вопросы о том, влияет ли изменение философской основы жизни общества на развитие математики, зависит ли математическое познание от изменения идеологической направленности мировоззрения, имеет ли место обратное воздействие математических знаний на философские идеи. Можно попытаться ответить на поставленные вопросы, обратившись к деятельности пифагорейской школы.

Пифагореизм как направление духовной жизни существовал на протяжении всей истории Древней Греции, начиная с VI века до н. э. и прошел в своем развитии ряд этапов. Основоположником школы был Пифагор Самосский (ок. 580-500 до н. э.).

Пифагор основал братство религиозного, философского и научного характера с политическим уклоном. Труды, приписываемые обычно Пифагору, относятся не только к легендарному Пифагору, но вообще к трудам этой школы между 585 и 400 г. до н. э.

В пифагореизме выделяют две составляющие: практическую («пифагорейский образ жизни») и теоретическую (определенная совокупность учений). В религиозном учении пифагорейцев наиболее важной считалась обрядовая сторона, затем имелось в виду создать определенное душевное состояние и лишь потом по значимости шли верования, в трактовке которых допускались разные варианты. По сравнению с другими религиозными течениями у пифагорейцев были специфические представления о природе и судьбе души. Душа - существо божественное, она заключена в тело в наказание за прегрешения. Высшая цель жизни - освободить душу из телесной темницы, не допустить в другое тело, которое якобы совершается после смерти. Путем для достижения этой цели является выполнение определенного морального кодекса, «пифагорейский образ жизни».

Теоретическая сторона пифагореизма тесно связана с практической. В теоретических изысканиях пифагорейцы видели лучшее средство освобождения души из круга рождений, а их результаты стремились использовать для рационального обоснования предполагаемой доктрины. Вероятно, в деятельности Пифагора и его ближайших учеников научные положения были перемешаны с мистикой, религиозными и мифологическими представлениями. Вся эта «мудрость» излагалась в качестве изречений оракула, которым придавался скрытый смысл божественного откровения. Основными объектами научного познания у пифагорейцев были математические объекты, в первую очередь числа натурального ряда (вспомним знаменитое «Число есть сущность всех вещей»).

Числа у пифагорейцев выступают основополагающими универсальными объектами, к которым предполагалось свести не только математические построения, но и все многообразие действительности. Физические, этические, социальные и религиозные понятия получили математическую окраску. Науке о числах и других математических объектах отводится основополагающее место в системе мировоззрения, то есть фактически математика объявляется философией. Как писал Аристотель,»… у чисел они усматривали, казалось бы, много сходных черт с тем, что существует и происходит, - больше, чем у огня, земли и воды… У них, по-видимому, число принимается за начало и в качестве материи для вещей, и в качестве выражения для их состояний и свойств… Например, такое-то свойство чисел есть справедливость, а такое-то - душа и ум, другое - удача, и можно сказать - в каждом из остальных случаев точно также».

Если сравнивать математические исследования ранней пифагорейской и милетской школ, то можно выявить ряд существенных различий.

Так, математические объекты рассматривались пифагорейцами как первосущность мира, то есть радикально изменилось само понимание природы математических объектов. Кроме того, математика превращена пифагорейцами в составляющую религии, в средство очищения души, достижения бессмертия. И наконец, пифагорейцы ограничивают область математических объектов наиболее абстрактными типами элементов и сознательно игнорируют приложения математики для решения производственных задач.

Все пифагорейское учение о сущности бытия имеет отчетливо выраженный спекулятивный характер и является исторически первой попыткой постижения количественной стороны мира. Математический подход к миру заключается в объяснении определенных количественных отношений между реально существующими вещами. Возможность мысленной манипуляции с числами (как абстрактными объектами) ведет к тому, что эти числа могут быть понимаемы как самостоятельно существующие объекты. Отсюда остается всего лишь шаг к тому, чтобы эти числа были провозглашены собственно сущностью вещей. Именно это и делается в философии Пифагора. При этом существующие противоположности подчиняются всеобщей универсальной гармонии космоса, они не сталкиваются, но борются, но подчинены гармонии сфер.

Религию и мораль Пифагор считал основными атрибутами упорядочения общества. Его учение о бессмертии души (и ее перевоплощении) стоится на принципах полной подчиненности человека богам. Мораль у Пифагора была обоснованием определенной «социальной гармонии», опирающейся на абсолютное подчинение демоса и аристократии. Поэтому ее важнейшей частью было безусловное подчинение.

Пифагорейство, таким образом, является первым идеалистическим философским направлением в античной Греции. Математическая проблематика выливается у них в мистику и обожествление чисел, которые они считают единственно истинно сущим.

Пифагор (576-496 до н.э.) и пифагорейская школа

Идеалистическая картина мира. Общая характеристика пифагорейской школы

В античной философии поиски первоосновы мира велись не только на основе материалистического мировоззрения. В этот период формируется и оформляется и другая мировоззренческая философская позиция, нашедшая свое наиболее яркое выражение у Пифагора и Платона.

Первой идеалистической философией в античной Греции был пифагореизм. Идеалистическая философия Пифагора стала специфической формой реакции на стихийный материализм милетской школы. Зарождение пифагореизма как идеалистической философии было сложным и противоречивым процессом, обусловленным не только социальными, но и гносеологическими причинами.

Будучи математиками, пифагорейцы сосредоточили свои усилия на уяснении количественных свойств и закономерностей природы и достигли в этом отношении серьезных успехов. Однако, в результате одностороннего преувеличения роли числа в познании и превращении его в оторванный от материи абсолют, пришли к утверждению о первичности числа, как продукта абстрактной мыслительной деятельности человека по отношению к предметам и вещам материального мира.

Первоначально они мысленно отвлеклись от качественного различия конкретных тел и стали оперировать понятием тела вообще. Затем, отвлекшись от размеров тел, получили понятие пространства вообще. Отвлечение от пространства позволило им отождествить его с количеством вообще и выражать его в числах. Подобное абстрагирование привело их к отождествлению чисел с вещами. Таким образом, первоосновой и первоэлементом вещей. Вселенной, природы и сознания, единственной субстанцией у пифагорейцев стало число. Немаловажную роль в становлении идеализма пифагорейцев сыграла и мистификация чисел.

В трактовке чисел в пифагорейской школе содержались элементы идеалистической диалектики. Например, они считали, что числа состоят из основных пар противоположностей: определенное и неопределенное, четное и нечетное. Их конкретизация дает понятие таких противоположностей как предел и беспредел, единое и многое, правое и левое, покоящееся и движущееся, прямое и кривое, большое и малое и т. д.

Основное философское значение имеет противоположность предельного и беспредельного, так как именно предел наиболее характерен для самого пифагорейского понимания числа, а с другой стороны, концепция предела тесно связана с политическим и этико-религиозным учением пифагорейцев о подчинении порядку.

Таким образом, необходимо понять, что в «пределе» воплощается ведущая тенденция всей философии пифагорейцев. Он служит основой наиболее адекватного выражения числа как примитивной абстракции. Однако, не имея возможности окончательно отождествить все существующее с числом как пределом, пифагорейцы оставляют место его противоположности - «беспредельному». Но эти противоположности противопоставлены друг другу и не взаимосвязаны.

Обратите внимание, что пифагорейцы в отличие от наивной диалектики натурфилософии милетской школы и Гераклита рассматривали противоположности в статике, в не движении, что вытекало из их общей концепции числа.

На основе изученного материала подумайте, правомерна ли оценка Гегелем учения пифагорейцев о противоположностях: «Это сухие, лишенные процесса, не диалектические, покоящиеся определения»?

В связи с пониманием пифагорейцами противоположностей находится и учение о гармонии мира, которая выводится из концепции «музыки сфер». Высшим законом, которому подчиняется все существующее, весь космос, является гармония. Она подчинена у пифагорейцев метафизической концепции числа, некой абстракции от действительной закономерности процессов в мире. Эта гармония исключает борьбу и предполагает полное подчинение частей целому, их сосуществование, соподчинение и равновесие. Самое главное в мире, везде, и в государстве в том числе - это гармония. Пифагорейцы категорически заявляют: «Все на свете обязательно гармонично. Гармоничны боги, гармоничен космос, потому что все составляющие его моменты, абсолютно согласованы в единое и нераздельное целое. Гармоничны государства, гармоничен царь, потому что от него исходит сила скрепления всех людей в одно целое».

В единстве противоположностей пифагорейцы видели гармонию. Главной противоположностью они считали предельное и беспредельное. Это говорит о влиянии Анаксимандра на пифагорейцев.

Пифагорейцы интересно решают вопрос о Боге. Они уверены, что «Бог - это число чисел». «Бог един - говорит Пифагор - и он не находится, как некоторые полагают, вне миропорядка, но он всецело пребывает во всем небесном круге, обозревая все порождения, будучи

«смешением» всех веков и творцом своих собственных сил и деяний. Бог начало всего, он светоч неба и отец вселенной, ум и одушевление всех вещей».

Расцвет греческой цивилизации приходится на период между VI веком до н.э. и серединой II века до н. э.

Развитие знаний у греков не имеет аналогов истории того времени.

Масштабы постижения наук можно представить хотя бы по тому факту, что менее чем за три столетия прошла свой путь греческая математика – от Пифагора до Евклида, греческая астрономия – от Фалеса до Евклида, греческое естествознание – от Анаксимандра до Аристотеля и Феофраста, греческая география – от Геккатея Милетского до Эратосфена и Гиппарха и т. д..

Открытие новых земель, сухопутные или морские странствия, военные походы, перенаселения в благодатные районы–все это нередко мифологизировалось. В поэмах с присущим грекам художественным мастерством мифическое соседствовало с реальным. В них излагались научные познания, сведения о природе вещей, а также географические данные. Впрочем, последние порой бывает трудно идентифицировать с сегодняшними представлениями.

Греки уделяли большое внимание конкретно – географическому познанию Земли. Даже во время военных походов их не покидало желание записать все то, что видели в покоренных странах. В войсках Александра Македонского выделили даже специальных шагомеров, которые подсчитывали пройденные расстояния, составляли описание маршрутов движения и наносили их на карту.

На основе полученных ими данных Дикеарх, ученик знаменитого Аристотеля, составил подробную карту тогдашней по его представлению ойкумены.

Простейшие картографические рисунки были известны еще в первобытном обществе, задолго до появления письменности. Об этом позволяют судить наскальные рисунки.

Архитектура, скульптура, живопись

Ведущими архитектурными сооружениями в Греции классического периода были храмы и театры. В V в. до н.э. возникает планировка городов. Основным архитектурным сооружением оставался храм.

Живопись была широко распространена в древней Греции, но, к сожалению, почти не сохранилась до нашего времени. Определенные представления о греческой живописи дают нам краснофигурные и чернофигурные вазы, дошедшие до нас.

Пифагорейская школа

Пифагор, основатель школы, как и Фалес, много путешествовал и тоже учился у египетских и вавилонских мудрецов. Вернувшись около 530 г. до н. э. в Великую Грецию (район южной Италии), он в городе Кротон основал нечто вроде тайного духовного ордена. Именно он выдвинул тезис «Числа правят миром», и с исключительной энергией занимался его обоснованием. В начале V в. до н. э., после неудачного политического выступления, пифагорейцы были изгнаны из Южной Италии, и союз прекратил свое существование, однако популярность учения от рассеяния только возросла. Пифагорейские школы появились в Афинах, на островах и в греческих колониях, а их математические знания, строго оберегаемые от посторонних, сделались общим достоянием.

Многие достижения, приписываемые Пифагору, вероятно, на самом деле являются заслугой его учеников. Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, арифметикой (теорией чисел), создали теорию музыки. Пифагор первый из европейцев понял значение аксиоматического метода, чётко выделяя базовые предположения (аксиомы, постулаты) и дедуктивно выводимые из них теоремы.

Геометрия пифагорейцев в основном ограничивалась планиметрией (судя по дошедшим до нас позднейшим трудам, очень полно изложенной) и завершалась доказательством «теоремы Пифагора». Хотя изучались и правильные многогранники.

Была построена математическая теория музыки. Зависимость музыкальной гармонии от отношений целых чисел (длин струн) была сильным аргументом пифагорейцев в пользу исконной математической гармонии мира, спустя 2000 лет воспетой Кеплером. Они были уверены, что «элементы чисел являются элементами всех вещей… и что весь мир в целом является гармонией и числом». В основе всех законов природы, полагали пифагорейцы, лежит арифметика, и с её помощью можно проникнуть во все тайны мира. В отличие от геометрии, арифметика у них строилась не на аксиоматической базе, свойства натуральных чисел считались самоочевидными, однако доказательства теорем и здесь проводили неуклонно.

Пифагорейцы немало продвинулись в теории делимости, но чрезмерно увлеклись играми с «треугольными», «квадратными», «совершенными» и т. п. числами, которым, судя по всему, придавали мистическое значение. Видимо, правила построения «пифагоровых троек» были открыты уже тогда; исчерпывающие формулы для них приводятся у Диофанта. Теория наибольших общих делителей и наименьших общих кратных тоже, видимо, пифагорейского происхождения. Вероятно, они же построили общую теорию дробей (понимаемых как отношения (пропорции), так как единица считалась неделимой), научились выполнять с дробями сравнение (приведением к общему знаменателю) и все 4 арифметические операции.

Первой трещиной в пифагорейской модели мира стало ими же полученное доказательство иррациональности, сформулированное геометрически как несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной. Невозможность выразить длину отрезка числом ставила под сомнение главный тезис пифагорейства. Даже Аристотель, не разделявший их взгляды, выражал своё изумление по поводу того, что есть вещи, которые «нельзя измерить самою малою мерою».

Положение попытался спасти талантливый пифагореец Теэтет. Он (и позже Евдокс) предложили новое понимание числа, которое теперь формулировались на геометрическом языке, и проблем соизмеримости не возникало. Однако впоследствии выяснилось, что построение числовой алгебры на основе геометрии было стратегической ошибкой пифагорейцев; например, с точки зрения геометрии выражения x2 + x и даже x4 не имели геометрического истолкования, и поэтому не имели смысла. Позднее Декарт поступил наоборот, построив геометрию на основе алгебры, и добился громадного прогресса.

Теэтет разработал также полную теорию делимости и классификацию иррациональностей. Можно предполагать, что деление нацело с остатком и «алгоритм Евклида» для нахождения наибольшего общего делителя тоже впервые появились у пифагорейцев, задолго до «Начал» Евклида. Непрерывные дроби как самостоятельный объект выделили только в Новое время, хотя их неполные частные естественным путём получаются в алгоритме Евклида.

Греческая математика поражает, прежде всего красотой и богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры - у Диофанта, аналитическая геометрия - у Аполлония и т. д. Но главное даже не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов.

Первое - греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики.

Второе - они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели - ключ к их познанию.

В этих двух отношениях античная математика вполне современна.

ПИФАГОРЕЙЦЫ - последователи Пифагора

(2-я половина VI - начало V вв. до н.э.), древнегреческого философа и математика, основавшего в греческом городе Кротоне религиозный союз

Характерные черты пифагорейской школы

Возникла она как некое братство или религиозный орден, подчиненный строгим правилам общежития и поведения.

Учение воспринималось как тайна, знать которую позволялось лишь адеп­там и разглашение которой строжайше запрещалось.

Пифагорейский союз представлял собой реакционную партийную органи­зацию аристократии.

Основные положения философии пифагорейцев

Истинное мировоззрение, по Пифагору, покоится на трех основах: морали, религии и знании. Мораль Пифагора - это мораль аристократа. Задачи науки подчинены интересам религии.

Первопричина всего сущего - число. Все в природе измеряется, подчиняет­ся числу, в числе - сущность всех вещей; познать мир, его строение, его закономерность - это значит познать управляющие им числа.

Мистика чисел составляет ядро пифагорейского идеализма.

Учение о противоположностях оформляется в систему метафизически по­нятых противоположностей (предел и беспредельное, нечет и чет. единое и множество, правое и левое, мужское и женское, покоящееся и движущееся, прямое и кривое, свет и тьма, хорошее и дурное, четырехугольное и разно­стороннее). Основное философское значение имеет противоположность пре­дельного и беспредельного, определяющая все другие противоположности.

Пифагорейцы в основном стояли на позиции метафизического миропони­мания, что целиком связано с их пониманием числа.

Пифагорейцы преуспели в изучении музыки, геометрии и небесной механики.

3.10. Философия элеатов

ЭЛЕАТЫ - представители элейской философской школы, существовавшей в VI-V вв. до н.э. в древнегреческом полисе Элея на территории современной Италии.

Представители: Ксенофан , Парменид , Зенон иМелисс

Основные положения философии элеатов

Все философские мировоззрения, с точки зрения Парменида, покоятся на одной из трех основных предпосылок: 1) только бытие есть, небытия нет , 2) не только бытие, но и небытие существует и 3) бытие и небытие тождественны ! . Эти предпосылки являются основой трех философских школ: первая - исходный пункт элейской школы, вторая лежит в основе учения пифагорейской школы, а в третьей заключается учение Гераклита Эфесского.

Элеаты первыми попытались понять мир, применяя к многообразию ве­щей философские поняти^федельной общности (бытие, небытие, движе­ние).

Единое бытие понимается элеатами как непрерывное, нераздельное, оди­наково присутствующее в каждом мельчайшем элементе действительности, исключающее количественную множественность вещей и их движение (апо­рии Зенона о невозможности движения). Множественность и движение не могут быть мыслимы без противоречия, и поэтому они не суть бытие.

В познании элеаты разграничивают истину , основанную на рациональном познании, и мнение, основанное на чувственных восприятиях. Последние знакомят нас лишь с видимостью вещей, но не дают знания их истинной сущности. Только разум может постичь истину о мире, исходя из тождества мышления и бытия.

В понятии бытия, как его осмыслили элеаты, содержится три момента: 1) бытие есть , а небытия нет; 2) бытие одно , неделимо ; 3) бытие познавае­мо, а небытие (видимость) непознаваемо : его нет для разума , а значит , оно не существует.

Окружающий мир элеаты рассматривали как нечто изменчивое и подвиж­ное , представляя его в рамках чувственного познания.

Первую философскую концепцию бытия выдвинули досократики. для которых бытие совпада­ет с материальным, неразумным и совершенным Космосом. Одни из них рассматривали бытие как неизменное, единое, неподвижное, самотождественнос (Парменид), другие - как непре­рывно становящееся (Гераклит). Бытие противопоставляется небытию. Различается бытие «по ис­тине* и бытие -»по мнению», идеальная сущность.